(Last Modified 16/8/124)

PHILOSOPHY OF MATHEMATICS EDUCATION JOURNAL 11 (1999)

MATEMATICAS Y ESTRUCTURA DE LA NATURALEZA

Universidad Complutense de Madrid

mdeguzman@bitmailer.net

Starting from the Pythagorean view of mathematics as a way to explore the "roots and sources of nature" the paper considers some contrasting views of the different modern conceptions of the mathematical activity (Russell's formalism, G�del's realism,...) in order to substantiate the author's opinion about mathematics as a permanent attempt to render an ever more faithful approximation to reality, trying finally to suggest an explanation of the mind's openness to infinity.

Matem�ticas y... Estructura de la Naturaleza?

Matem�ticas, todos lo sabemos, es 2+2=4, log 2=0'301030..., tgx=senx/cosx, pi= 3'14... es la raz�n entre el per�metro y el di�metro de una circunferencia, dos tri�ngulos son semejantes cuando..., qu� pueden tener que ver tales cosas nada menos que con laestructura de la naturaleza? Ni siquiera a los matem�ticos normales les o�mos nada sobre tal relaci�n! Que tenga que ver con la tecnolog�a, con los c�lculos relacionados con la construcci�n de un sat�lite que ha de viajar al espacio, pase, pero con... la estructura de la naturaleza! No estaremos delante de una exageraci�n, una tremenda hip�rbole, o tal vez ante una estrategia de propaganda en favor de algo tan abstruso como las matem�ticas que necesita disfrazarse para encontrar cierto prestigio o al menos cierta comprensi�n en la gente cr�dula? No ser�n quimeras de iluminado?

Mi intenci�n, con las consideraciones que siguen, es tratar de ayudar a contemplar la matem�tica bajo la misma luz con la que durante muchos siglos muchas personas la han considerado. Es cierto que nosotros mismos, los profesionales de la matem�tica, una gran mayor�a, nos hemos vuelto bastante prosaicos en nuestra propia concepci�n de lo que la matem�tica representa. Para una gran parte de nosotros la matem�tica es una especie de herramienta, m�s o menos complicada, pero muy potente para manejar bien ciertos problemas pr�cticos, o bien una serie de elucubraciones que la tradici�n nos ha entregado y que, no sabemos muy bien por qu� raz�n, viene bien que transmitamos a los m�s j�venes.

Pero hubo un tiempo, en el nacimiento mismo de la matem�tica tal como hoy la concebimos, hace m�s de 25 siglos, a finales del siglo 6 a. de C., en que todo esto fue muy diferente. Para la comunidad de los pitag�ricos, en cuyo seno fue gestada la matem�tica al modo que hoy la cultivamos, el pensamiento matem�tico era la escala hacia la comprensi�n del universo, hacia el conocimiento de "las ra�ces y fuentes de la naturaleza", como se expresan frecuentemente los documentos del pitagorismo primitivo conservados y esta era su funci�n m�s importante.

La estela del pitagorismo en la historia de la civilizaci�n humana es bien patente, especialmente en la del pensamiento occidental, con Plat�n actuando como influyente transmisor del pensamiento pitag�rico. A lo largo de la historia unas veces se manifiesta de forma bien expl�cita, como en el propio Plat�n, los neopitag�ricos, los neoplat�nicos, la Kabala, Galileo, Kepler,... y otras m�s impl�citamente, por ejemplo en el mismo fundamento de nuestra actual concepci�n cient�fica, a trav�s del pensamiento b�sico de que el universo en que vivimos es un cosmos ordenado, no un caos, es un mundo inteligible mediante la luz de la raz�n, y en muchos aspectos a trav�s de la raz�n matematizante.

Los pitag�ricos: de los n�meros a la divinidad

El siguiente testimonio puede resultar, en una primera consideraci�n, un tanto chocante para los que vivimos acostumbrados a la concepci�n prosaica de la matem�tica, que somos la mayor parte de nosotros. Proviene de un pitag�rico del siglo 4 a. de C., Filolao, y constituye una especie de himno entusiasmado al n�mero.

Grande, todopoderosa, todoperfeccionadora y divina

es la fuerza del n�mero,

comienzo y regidor de la vida divina y humana,

participante de todo.

Sin el n�mero todo es confuso y oscuro.

...

Porque nada de las cosas nos ser�a claro

ni en su mismo ser ni en sus relaciones mutuas

si no existiera el n�mero y su esencia.

El es quien armoniza en el alma

las cosas con su percepci�n

haci�ndolas cognoscibles y congruentes unas con otras

seg�n su naturaleza,

(Filolao, Diels,B.11)

La idea fundamental que aqu� se expresa es la concepci�n presente en la base del pitagorismo de todos los tiempos. Para la comunidad pitag�rica primitiva, ya desde los tiempos de Pit�goras mismo, cuya vida ocupa casi todo el siglo 6 a. de C., el orden y armon�a del universo, que son objetos de contemplaci�n, y a la vez modelo y espejo de lo que debe ser el comportamiento humano, se hacen especialmente di�fanos a trav�s del n�mero y sus proporciones. En este sentido es, probablemente, como hay que entender la afirmaci�n del mismo Arist�teles seg�n la cual para los pitag�ricos "el n�mero era la esencia de las cosas".

C�mo lleg� Pit�goras a esta percepci�n profunda que ha sido capaz de iluminar una buena parte de la vida intelectual de los 25 siglos que de �l nos separan? C�mo es posible que su idea haya calado tan profundamente en el pensamiento humano hasta convertirse en el centro de vida de todo un movimiento cient�fico-filos�fico-religioso que ha perdurado de forma organizada durante unos cuantos siglos y que hoy mismo ejerce una influencia y una fuerza de atracci�n tan poderosa como tendremos ocasi�n de ver?

La iluminaci�n fundamental de Pit�goras est� sostenida sobre tres constataciones que �l tuvo ocasi�n de realizar, sobre todo a lo largo de sus viajes de estudio por los pa�ses de sabidur�a milenaria de Mesopotamia y Egipto.

1) Del legado babilonio y egipcio Pit�goras hab�a aprendido que los movimientos de los astros est�n gobernados por leyes num�ricas.

2) Sobre todo a trav�s de los desarrollos geom�tricos de los egipcios Pit�goras sab�a tambi�n que las formas de las figuras geom�tricas se ajustan a los n�meros y sus proporciones.

3) Parece estar bastante bien documentado que Pit�goras tuvo ocasi�n de comprobar, a trav�s de experimentos realizados por s� mismo, posiblemente a trav�s del monocordio, un instrumento sonoro con una sola cuerda, que la armon�a de los sonidos est� regida por los n�meros.

De estos tres hechos, con una audaz extrapolaci�n propia del verdadero genio que era, Pit�goras dedujo que todo en el universo est� regido por el n�mero, y mediante �l llegamos a las ra�ces y fuentes de la naturaleza.

Para Pit�goras la matem�tica (el n�mero) se dirige en realidad a la exploraci�n del universo entero, en primer lugar hacia la estructura de lo cercano, de lo sensible, pero tambi�n hacia la estructura de la mente, incluso constituye un modo de acercamiento a la divinidad.

Esta sorprendente iluminaci�n de Pit�goras es comentada como sigue por Alfred N. Whitehead, al final del primer cap�tulo de su obra Science in the Modern World (1925):

Verdaderamente Pit�goras, con su fundaci�n de la filosof�a y de la matem�tica europeas, las dot� con la m�s afortunada de las conjeturas.

O acaso fue un resplandor de genio divino que penetr� hasta la naturaleza m�s �ntima de las cosas?

Tal fundaci�n de la filosof�a y de la matem�tica europea no tuvo lugar como un fen�meno singular e individual, sino a trav�s de lo que ha sido sin duda uno de los movimientos intelectuales m�s influyentes y duraderos en la historia del pensamiento humano. La comunidad de �ndole filos�fico-cient�fico-religiosa que se cre� alrededor de Pit�goras en la Magna Grecia (situada al sur de lo que ahora es la pen�nsula italiana, y que comprend�a ciudades libres tales como Crotona, Tarento,...) alcanz� una fuerte identidad que la hizo perdurar por varios siglos alrededor de unas creencias que resume as� Dicaiarcos, un disc�pulo de Arist�teles, en el siglo 4 a. de C. (lo narra Porfirio, neoplat�nico del siglo 3 d. de C.):

(1) Que el alma es inmortal.

(2) Que las almas cambian su lugar, pasando de una forma a otra (metempsicosis).

(3) Que todo lo que ha sucedido retorna en ciertos ciclos y que no sucede nada realmente nuevo (eterno retorno).

(4) Que hay que considerar todos los seres animados como emparentados entre s�.

Trataremos a continuaci�n de examinar los aspectos que han perdurado a trav�s del tiempo de la visi�n interesante y profunda de los pitag�ricos.  

Qu� se puede pensar sobre la iluminaci�n pitag�rica despu�s de 25 siglos de evoluci�n ascendente de la matem�tica? La descripci�n general del quehacer matem�tico que se expone a continuaci�n podr�a ser compartida sin problemas, pienso yo, por la mayor parte de los matem�ticos contempor�neos. Como veremos, incorpora algunos de los rasgos de la intenci�n de los pitag�ricos. Cuando m�s adelante descendamos a la interpretaci�n, un poco m�s detallada, del significado de esta actividad, entonces es cuando deberemos hacer notar las divergencias existentes entre los mismos matem�ticos de la actualidad.

La matem�tica es una exploraci�n de ciertas estructuras complejas de la realidad que, mediante un proceso de simbolizaci�n adecuado de los objetos a los que se acerca, y mediante una manipulaci�n racional rigurosa de ellos, se dirige hacia un dominio efectivo de dicha realidad.

Las estructuras complejas de la realidad que en un principio trat� de explorar la actividad matem�tica fueron las relacionadas con la multiplicidad y con el espacio, las dos estructuras b�sicas con las que el hombre se enfrenta de una forma espont�nea y apremiante. De la intenci�n racional de conseguir el dominio de estas realidades surgieron la aritm�tica y la geometr�a. Esta es la raz�n de que, en un principio, y por mucho tiempo, la matem�tica fuera definida como la ciencia del n�mero y de la extensi�n.

Pero cuando las herramientas conceptuales de la matem�tica iniciales, n�mero y geometr�a, fueron haci�ndose m�s sofisticadas, cuando los instrumentos materiales de observaci�n de otro tipo de estructuras de la realidad fueron perfeccion�ndose, y cuando se despert� la motivaci�n suficiente para tratar de dominar otras regiones de la realidad material o conceptual, la mente matematizante fue creando otros sistemas adecuados para lograr el se�or�o de tales estructuras. As� es como nacieron, por ejemplo,

el �lgebra, como s�mbolo del s�mbolo, es decir como un intento simplificador, a trav�s de la introducci�n de nuevos modos de simbolizaci�n, de las relaciones de la aritm�tica,

el an�lisis matem�tico, fruto en un principio de la exploraci�n del cambio f�sico en el tiempo y del estudio cuantitativo de la relaci�n causa-efecto cuando �sta es suficientemente simple de analizar,

la probabilidad y la estad�stica, que encuentran modos de manejar cuantitativamente el azar, es decir aquellas situaciones en las que las causas que en ellas influyen son tantas y tan complejas que la mente matematizante ha de renunciar a examinar el influjo aislado de cada una para explorar de otro modo la influencia global de todas ellas,

la l�gica matem�tica, que trata de explorar de modo riguroso las estructuras de funcionamiento deductivo de la misma mente cuando se ocupa de

temas en los que tales estructuras son susceptibles del proceso de simbolizaci�n y manipulaci�n rigurosa que llamamos matematizaci�n,...

El avance de la matem�tica, como vemos, tiene lugar, en extensi�n, a medida que la mente humana se va encontrando capacitada y provista de las herramientas adecuadas, conceptuales y materiales, para explorar nuevos campos de la realidad, ya sea externa o interna, y este proceso parece que nunca llegar� a su fin, dada la extrema complejidad del mundo real, que siempre va ofreciendo nuevos retos a la mente con intenci�n matematizante.

En tiempos recientes, gracias a la disponibilidad de un gran c�mulo de herramientas conceptuales nuevas, en torno fundamentalmente al an�lisis matem�tico, y gracias tambi�n a la presencia de la revolucionaria herramienta que constituye el ordenador, ha surgido la posibilidad de iniciar, a trav�s de la teor�a de los sistemas din�micos, la exploraci�n de los fen�menos de la naturaleza que no son lineales (es decir el efecto no es proporcional a la causa, sino por ejemplo al cuadrado de la causa), y esto ha abierto una ventana para contemplar de cerca lo que se suele denominar caos matem�tico.

Un reto que se perfila para el futuro, en el que en nuestro tiempo han comenzado los primeros balbuceos, consiste en la exploraci�n, mediante nuevas herramientas matem�ticas, del funcionamiento global de la mente humana, del problema, por ejemplo, de encontrar explicaciones al fen�meno de la conciencia refleja, es decir al modo en que la mente conoce que conoce.

Hasta aqu� hemos tenido ocasi�n de contemplar cu�l es el sentido del quehacer matem�tico, es decir qu� es lo que con eso que hemos llamado matematizaci�n se pretende. Vamos ahora a examinar un poco m�s profundamente c�mo tiene lugar tal proceso, cu�les y c�mo son las fases a trav�s de las que la mente procede a la matematizaci�n.

C�mo es propiamente el proceso de matematizaci�n? A grandes rasgos se pueden distinguir las siguientes etapas:

es decir, colocada ante una realidad tal vez muy compleja la mente se encuentra motivada y suficientemente provista de instrumentos adecuados para acercarse a ella y comenzar a analizarla, es decir a descomponerla en sus elementos m�s simples, a prescindir de multitud de aspectos de esa realidad que son los causantes de su extraordinaria complejidad, a quedarse con unos cuantos que le parecen m�s propicios para empezar a practicar sobre ellos el ejercicio de simbolizaci�n e introducci�n en las redes y estructuras de sus conocimientos ya familiares a fin de aplicarles a ellos los �tiles matem�ticos que ya posee o de crear otros nuevos m�s id�neos para lo que le ha quedado de la realidad que se ha propuesto analizar. En otras palabras, abstrae, simplifica, modeliza, pero tambi�n hay que decirlo, mutila la realidad para tratar de entenderla, al menos parcialmente.

guiada la mente unas veces por el deseo de resolver los problemas pr�cticos que condujeron a la creaci�n del modelo, otras veces motivada por un cierto placer est�tico de exploraci�n de los problemas que el modelo mismo le propone de forma natural,... la mente va desarrollando, en ocasiones incluso con una extensi�n y profundidad que pueden parecer poco razonables, un edificio conceptual que, seg�n conf�a, puede ayudarle a entender mejor la realidad misma que inici� su construcci�n

3) la mente vuelve a la realidad de partida con los resultados que sus construcciones le ofrecen, a veces realizadas sin pretensi�n alguna de aplicaci�n a la realidad, y... observa con sorpresa su adecuaci�n a ella, a veces perfecta!

tal ha sido la situaci�n en muchos casos de la historia del desarrollo de la matem�tica, tanto en tiempos antiguos como recientes; un caso bien conocido y que no necesita mucho comentario es el profundo desarrollo de la teor�a de las c�nicas en la matem�tica griega cl�sica, que tiene su origen en la curiosidad geom�trica por saber c�mo son las posibles secciones de un cono y que, llevado adelante con un alarde extraordinario de t�cnica por Apolonio en el siglo 3 a. de C., en buena parte por puro placer est�tico, encontr� en el siglo 17, con Kepler y sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas, una culminaci�n digna de esta bella construcci�n te�rica sobre las c�nicas. 

Este extra�o camino, contacto inicial con una realidad, abstracci�n de unos cuantos aspectos de ella, construcci�n de todo un edificio mental por motivos que pueden ser tan variados y aterrizaje sobre la realidad inicial, que parece adaptarse a las construcciones realizadas, le deja a uno con una sensaci�n semejante a la que uno cualquiera de nosotros experimentar�a en la situaci�n siguiente. Un buen d�a, basado en unos pocos detalles que conozco de la vida de una persona, me decido a escribir una novela sobre ella. Despu�s de haberla escrito toda ella, con multitud de detalles, que yo considero ficticios, llego a conocer a tal persona... y me entero de que mi descripci�n se ajusta, punto por punto, a la realidad! Por su puesto que mi asombro ser�a enorme.

No es de extra�ar que este misterio de la adecuaci�n de nuestra teor�a a la realidad haya dejado perplejos a muchos de los cient�ficos que han reflexionado sobre ella. He aqu� tres testimonios llamativos. El primero pertenece a E. Wigner, gran f�sico que recibi� el premio Nobel en 1963, en un famoso art�culo que lleva el significativo t�tulo La irrazonable efectividad de las matem�ticas en las ciencias naturales:

El milagro de la adecuaci�n del lenguaje de las matem�ticas para la formulaci�n de las leyes f�sicas es un don maravilloso que ni entendemos ni merecemos. Deber�amos mostrarnos agradecidos por �l y esperar que permanezca siendo v�lido en la investigaci�n futura y que se extienda, para bien o para mal, para placer nuestro, aunque tambi�n tal vez para nuestra perplejidad, a ramas m�s amplias del saber.

(E.P.Wigner, The unreasonable efectiveness of mathematics in the natural sciences, 1960)

El segundo testimonio pertenece a N. Bourbaki, seud�nimo bajo el que un c�lebre colectivo matem�tico, con su obra �lements de Math�matique a partir de los a�os cuarente, alcanz� enorme influencia en el desarrollo de la matem�tica reciente:

Que existe una relaci�n �ntima entre los fen�menos experimentales y las estructuras matem�ticas parece confirmarse plenamente de la forma m�s inesperada mediante los descubrimientos m�s recientes de la f�sica contempor�nea. Pero no sabemos absolutamente nada sobre los fundamentos de este hecho (suponiendo que se pudiera encontrar realmente significado a estas palabras) y tal vez no lleguemos a saber nunca sobre ello.

(N.Bourbaki, L'Architecture des Math�matiques, 1948).

Bourbaki se refiere a los avances espectaculares de la f�sica en torno a la relatividad, part�culas elementales,... Parec�a en aquel tiempo como si los instrumentos matem�ticos ya creados casaran perfectamente para explicar una realidad que no ten�a nada que ver con la motivaci�n y los or�genes de tales instrumentos.

El tercer testimonio interesante proviene del mismo A. Einstein, art�fice en buena parte de los avances en f�sica a los que alud�a Bourbaki anteriormente:

Aqu� aparece un rompecabezas que ha perturbado a los cient�ficos de todos los tiempos. C�mo es posible que la matem�tica, un producto del pensamiento humano,que es independiente de la experiencia, se ajusta tan excelentemente a los objetos de la realidad f�sica? Puede la raz�n humana sin experiencia descubrir con su puro pensar propiedades de las cosas reales?

(A. Einstein, Sidelights of Relativity)

El problema efectivamente asombra a cualquiera que a �l se asome y, en el fondo, no es otro que el de la relaci�n mente-mundo, sobre el que tanto han elucubrado fil�sofos y cient�ficos de todos los siglos. Cu�l es la relaci�n de nuestra mente con la realidad? En qu� consiste propiamente conocer?

Desde el campo propio de la filosof�a se han dado muchas respuestas diferentes y aun diametralmente opuestas a este problema, lo cual no es muy sorprendente, dada la naturaleza tan compleja de la pregunta. Parecer�a que en la matem�tica, donde hemos constru�do un mundo que parece m�s a medida de nuestra propia mente, la situaci�n deber�a aparecer m�s clara. Cu�l es la relaci�n matem�tica-realidad que hace posible esta situaci�n misteriosa? Como veremos enseguida, tampoco los matem�ticos que m�s han reflexionado sobre ello est�n de acuerdo.

Respuestas al enigma: realismo y formalismo frente a frente?

Para obtener una primera visi�n de la confrontaci�n de que hablamos se pueden considerar dos testimonios muy importantes y bien representativos de las dos concepciones enfrentadas.

La postura calificada como formalista(la forma de nuestras afirmaciones es lo determinante en matem�ticas)se puede entender a trav�s de las siguientes palabras de B. Russell con las que �l describe el quehacer matem�tico:

La Matem�tica Pura consiste enteramente en tales aseveraciones como la consistente en que, si esta y esta otra proposiciones son verdaderas acerca decualquier cosa entonces estas y estas otras proposiciones sobre esa cosa son verdaderas. Es esencial no discutir si la primera proposici�n es realmente verdadera y no mencionar qu� es esa cualquier cosa de la que se supone que es verdadera...

...Si nuestra hip�tesis es acerca de cualquier cosa y no acerca de una o m�s cosas particulares, entonces nuestras deducciones resultan ser matem�tica. Por lo tanto la matem�tica se puede definir como el campo en que nunca sabemos de qu� estamos hablando ni si lo que decimos es verdadero.

(Bertrand Russell, Recent Work on the Principles of Mathematics, International Monthly 4 (1901)).

las que Russell alude, de las que se pueden afirmar (se suponen verdaderas) tales y cuales proposiciones (aunque en realidad no es necesario ni nos debe importar que sean verdaderas o no). Las reglas de combinaci�n de esos objetos son en el caso de la matem�tica las reglas deductivas, es decir las reglas por las cuales de unas cuantas afirmaciones se siguen l�gicamente otras.

Es conveniente hacer notar que Russell se refiere aqu� expl�citamente a lo que el llama Matem�ticaPura, un t�rmino del tiempo en las universidades brit�nicas que no inclu�a los desarrollos matem�ticos relativos a las aplicaciones. Y tambi�n viene bien recordar que �l y A.N.Whitehead intentaron llevar a cabo con los Principia Mathematica (1910-1913) un proyecto tit�nico interesante con el que se pretend�a derivar la matem�tica a partir de la l�gica. La descripci�n de Russell bien puede corresponder a dicho intento, pero lo discutible, y por muchos rechazado, es que eso constituya el quehacer propio de la matem�tica. A mi parecer se podr�a decir que la descripci�n de Russell se adapta de alg�n modo a lo que es el mero juego deductivo de la matem�tica o de cualquier otro sistema hipot�tico-deductivo, pero no a lo que ha constitu�do propiamente el quehacer matem�tico de todos los tiempos. Creo que ser�an pocos los matem�ticos del pasado, e incluso del presente, los que estar�an seriamente de acuerdo con la afirmaci�n de que su quehacer matem�tico es un mero juego deductivo cuya relaci�n con la realidad es mejor dejar a un lado.

En los tiempos actuales, la concepci�n opuesta, que se denomina realismo matem�tico, se puede entender bien, en una primera aproximaci�n, a trav�s de las siguientes palabras de K. G�del, autor de algunos de los trabajos m�s importantes en la matem�tica de todos los tiempos en relaci�n con la comprensi�n de lo que la matem�tica significa desde el punto de vista filos�fico. Al final de una importante conferencia, la conferencia Gibbs, en 1951, Some basic theorems on the foundations of mathematics and their philosophical implications, proclamaba bien abiertamente su propia concepci�n de la matem�tica:

...la concepci�n plat�nica es la �nica sostenible. Con ello me refiero a la concepci�n de que la matem�tica describe una realidad no sensible, que existe independientemente tanto de los actos como de las disposiciones de la mente humana, y que s�lo es percibida por ella, aunque probablemente de forma incompleta. Esta concepci�n es m�s bien impopular entre los matem�ticos, aunque algunos de los grandes la han adoptado, por ejemplo Hermite, que escribi� una vez lo siguiente:

'Existe, si no me equivoco, todo un mundo que es el conjunto de las verdades matem�ticas, al que no tenemos acceso m�s que por la inteligencia, al igual que existe el mundo de las realidades f�sicas; ambos son independientes de nosotros y de creaci�n divina.' "

(K.G�del, Ensayos in�ditos, Edici�n a cargo de F. Rodr�guez Consuegra, Mondadori, Madrid, 1994, p.169)

Esta conferencia de G�del, que ha permanecido in�dita hasta hace tres a�os, como la mayor parte de sus escritos filos�ficos, frutos del trabajo de m�s de 40 a�os de intensa dedicaci�n a las implicaciones filos�ficas de sus propios resultados matem�ticos, destaca su concepci�n pitag�rico-plat�nica de la matem�tica, frente a las tendencias formalistas muy dominantes en la �poca en que fue pronunciada. La expresi�n de G�del es bien expl�cita y, con toda probabilidad escogi� con sumo cuidado todas y cada una de sus palabras, a juzgar por su forma de trabajar, en constante duda y replanteamiento de los pensamientos que iba elaborando, como queda bien patente en lo que va apareciendo publicado de todos los escritos muy elaborados que dej� in�ditos.

Formalismo y realismo son dos concepciones muy distintas de lo que el quehacer matem�tico significa. Esto no quiere decir que tal escisi�n interna inquiete mucho a la comunidad matem�tica. La mayor parte de los matem�ticos actuales consideran que tienen ante s� una tarea suficientemente atrayente y complicada al tratar de resolver los problemas concretos que se van generando de forma natural con el desarrollo de su propio campo y dejan como responsabilidad de quienes se ocupan de explorar los fundamentos de la matem�tica los temas que no son de �ndole t�cnica, sino m�s bien de sabor filos�fico. Piensan que en realidad tales problemas no afectan en absoluto la belleza ni la utilidad del juego que la comunidad matem�tica desde hace milenios viene practicando.

Pero parece una actitud m�s razonable tratar de interesarse por este tipo de problemas al menos hasta el punto de poder formarse una idea propia bien fundamentada sobre el sentido y el alcance de la actividad a la que cada uno de nosotros est� dedicado. Esto es, por otra parte, bien �til a fin de no quedar atrapado por los muchos prejuicios alrededor de la ciencia, y en particular alrededor de la matem�tica misma, que nos pueden impedir contemplar con objetividad el lugar que nuestra actividad ocupa en el desarrollo de una cultura m�s plenamente humana. La matem�tica participa de muchos de los aspectos del juego, pero no es solamente un juego, sino tambi�n una ciencia, un arte intelectual creador de una belleza peculiar, uno de los ejes fundamentales de la cultura, con un lugar muy central en ella y una responsabilidad muy especial en su correcto desarrollo. Tratar� a continuaci�n de exponer sucintamente unas cuantas observaciones propias en torno al tri�ngulo realidad-mente-matem�tica que tal vez puedan ayudar a otros a formarse su propia opini�n sobre el problema.

Una explicaci�n plausible: la aproximaci�n permanente del quehacer matem�tico hacia la realidad.

A mi parecer se puede concebir el sentido del quehacer matem�tico como una aproximaci�n hacia la realidad, aproximaci�n cada vez m�s sutil mediante la construcci�n de esquemas mentales que tratan de explicar de modo m�s adecuado aspectos nuevos de la misma realidad o bien aspectos ya considerados por etapas anteriores que resultan ser problem�ticos y a�n inabarcados por nuestra comprensi�n. La matem�tica surge de la interacci�n continua de la mente con la realidad, del modo que se�alar� en seguida.

En primer lugar quisiera dejar claro que por realidad no quiero significar solamente el mundo externo, el mundo perceptible por nuestros sentidos y cuantificable mediante nuestros instrumentos de medida, sino tambi�n el mundo mental, el universo conceptual que el matem�tico va estructurando, ya que es claro que la matem�tica se va construyendo tambi�n tomando como objeto de su consideraci�n el edificio mismo de los objetos que ya ha constru�do.

Pero s� que es cierto que las realidades iniciales de partida sobre las que la mente matem�tica inici� su exploraci�n fueron las realidades sensibles a su alrededor. Como he indicado antes, las estructuras de multiplicidad y las estructuras espaciales presentes para nosotros en nuestra primera percepci�n de ellas dieron lugar a las primeras formas de matematizaci�n, aritm�tica y geometr�a.

C�mo? Tal vez se puedan se�alar en el proceso unas cuantas etapas. El hombre capta las realidades externas directamente mediante sus sentidos, pero en cierto modo el magma ca�tico que podr�an resultar sus percepciones se le comienza a hacer transparente ya desde el principio para su mente gracias a que sobre ellas lanza sus redes y esquemas conceptuales. La percepci�n sensorial del hombre no es previa en el tiempo a la percepci�n intelectiva, sino coincidente con ella. Juntamente con su percepci�n sensorial el hombre percibe relaciones de similitud, diferencia, formas, situaci�n,... entre las cosas. Es capaz de iniciar un proceso de matematizaci�nen sobre ciertas estructuras b�sicas de la realidad en el sentido indicado anteriormente (simbolizaci�n, manipulaci�n racional,...). Sus trucos iniciales que en un principio pudieron ser bien toscos se convierten en esquemas m�s sofisticados que le proporcionan un cierto �xito.

Por ejemplo, el hombre afronta la multiplicidad, presente en las cosas y tambi�n, de una manera m�s sutil, en la propia conciencia de repetibilidad de su yo mismo, es decir de su misma unidad interna. Idea el n�mero como instrumento adecuado para manejar esa multiplicidad de las cosas mediante unas cuantas hip�tesis razonables. A trav�s de esta estructura mental llega a dominar aspectos simples de la realidad subyacente.

Los �xitos conseguidos le hacen m�s audaz. Se atreve con aspectos m�s complicados y sofisticados de la realidad que observa y de las estructuras que se ha ido creando. Por ejemplo, en relaci�n con el n�mero, se forja conjeturas tal vez aventuradas, como la de los pitag�ricos que ya hemos contemplado, seg�n la cual el universo entero est� regido por los n�meros naturales (1,2,3,4,...) y por las proporciones entre ellos.

Aparecen situaciones que resultan confusas y parad�jicas. Con respecto a la concepci�n del n�mero entre los pitag�ricos surgi� la presencia del n�mero irracional y el mundo se les vino abajo. Los esquemas iniciales que la mente matem�tica hab�a esperado que pudieran explicar adecuadamente la realidad para la que se hab�an constru�do resultan ahora demasiado simples y estrechos para seguir explicando aspectos nuevos que han surgido o bien insuficientes para poder dar cuenta, como esperaba, de situaciones m�s abiertas. Es necesario revisar tales concepciones.

Esta revisi�n no se realiza inmediatamente, no se sabe bien c�mo hacerlo, y por ello no se percibe a veces, en el desarrollo de la matem�tica, como un avance, sino m�s bien como un fracaso, como una profunda crisis, como sucedi� en el caso de la irrupci�n del n�mero irracional entre los matem�ticos pitag�ricos. S�lo a posteriori podr� ser contemplada como una crisis de crecimiento, cuando, despu�s de reparado el edificio y con una cierta visi�n panor�mica, se deshaga la comunidad matem�tica de los prejuicios que le hab�an inducido a aceptar como buenas las ideas y expectativas que en realidad no ten�an un fundamento adecuado. La realidad acaba por imponerse.

En esta interacci�n con la realidad, con la estructura de la naturaleza, la matem�tica va desarroll�ndose, profundizando y abarcando campos m�s amplios. Esta situaci�n apunta, a mi parecer, a la existencia en la mente humana de una cierta plasticidad, tambi�n en este terreno aparentemente tan r�gido del pensamiento matem�tico.

La mente se acerca a la realidad para matematizarla y se construye ciertos trucos mentales, incluso en ocasiones esquemas axiom�ticos bien sofisticados que, ya que de momento le van bien, incluso a veces sorprendentemente bien, los da por perfectamente adecuados y piensa que abarcan y se ajustan a la realidad entera, dominando plenamente los aspectos de ella a los que se dirigen. Piensa que esas configuraciones de su mente que con esfuerzo ha realizado se adaptan plenamente a la realidad, piensa que son las leyes a las que la misma realidad se ajusta.. Pero tal vez no tiene en cuenta que sus esquemas fueron abstracci�n y mutilaci�n de la realidad y que de ella pueden surgir, cuando trate de enfrentarse con nuevas preguntas y problemas, aspectos que ya no son dominados por tales esquemas.

Cuando estos aspectos surgen, en muchas ocasiones manifestados por la presencia de situaciones parad�jicas, la mente se encuentra en un principio sacudida, las cosas no casan con sus expectativas, pero no tarda en encajar la convicci�n que se le impone de que las cosas no son como pensaba y que tiene que aceptar la realidad tal cual es. Vuelve a construirse nuevos esquemas, nuevos trucos, cambia de sus axiomas aquellos que piensa que le van a venir bien para que el nuevo sistema que construye se adapte a todas las situaciones que en ese terreno sabe ahora que se dan.

En mi opini�n la matem�tica surge de esta interacci�n continua entre la mente y la realidad. La realidad posee su estructura, por supuesto. La realidad es como una filigrana de estructura extraordinariamente fina que act�a como un est�mulo necesario para que, en la interacci�n mente-realidad, surja el edificio conceptual de la matem�tica. La mente se acerca a ella y se adapta a esa realidad, en un intento que parece suficiente para los problemas simples con los que se ocupa al comienzo, mediante los esquemas que crea. Tales esquemas no tienen por qu� coincidir enteramente con los de la realidad. Son aproximaciones a ella, pero nunca acabar�n por abarcarla toda, como m�s adelante veremos.

Por supuesto que algunas de estas estructuras conceptuales fundamentales tendr�n una solidez permanente, 2+2 siempre ser�n 4, pero puede haber finezas, expl�citas o impl�citas, en esa forma inicial de acercamiento a la realidad que no parecen importantes para los problemas m�s b�sicos, pero que afloran cuando las preguntas se hacen m�s sofisticadas.

La aritm�tica de los n�meros naturales no parece presentar problemas de fondo hasta que la mente se encara con otras preguntas que nos colocan en una cierta encrucijada. Por ejemplo, si consideramos por un lado todos los n�meros naturales (1, 2, 3, 4,...) y por otro todos los n�meros pares (2, 4, 6, 8,...), nos podemos preguntar leg�timamente: d�nde hay m�s, en el primer conjunto o en el segundo? Por una parte parece claro que, como todos los pares son naturales y el 3, por ejemplo, es natural y no par, uno deber�a responder que los naturales son m�s. Pero por otra parte es claro que cada n�mero par, por ejemplo 28, se puede emparejar con su mitad, aqu� 14, y de esta manera los elementos de los dos conjuntos quedan emparejados uno a uno, sin que sobren n�meros naturales ni n�meros pares, cada oveja con su pareja. De modo que hay tantos pares como naturales. Esto es lo que constituye una de las paradojas importantes de los n�meros naturales (paradoja de Galileo), detr�s de la cual est� la antiqu�sima pol�mica sobre el infinito potencial y el infinito actual. El enfrentamiento matem�tico de forma sistem�tica con situaciones semejantes tuvo lugar a finales del siglo 19 con G. Cantor y di� lugar a una expansi�n considerable del �mbito de la matem�tica, con la creaci�n de la teor�a de conjuntos.

Con respecto a paradojas semejantes a la mencionada de Galileo y otras m�s profundas que aparecieron en la teor�a de conjuntos y en los fundamentos b�sicos de la matem�tica, G�del pensaba que lo que sucede es que la teor�a de conjuntos es algo que tiene realidad propia, en ese mundo de las ideas del que en su conferencia Gibbs anteriormente citada se hac�a eco, y que lo que sucede es que la mente humana no ha llegado a penetrar a�n suficientemente en ella para ver claro y extraer con justeza cu�les son los axiomas por los que se rige, pero que con el tiempo la mente ver� m�s claramente y entonces ser� capaz de discernir cu�les son los axiomas que es preciso adoptar, pues son los de la realidad. La teor�a de conjuntos por tanto, es algo que est� ah�, independiente de la mente humana y que lo que hace la mente con ella no es m�s que observarla y darse cuenta de su forma, de manera semejante a la que un bot�nico va observando las diversas especies de plantas y las describe. Pero, si esto es as�, c�mo explicar la posibilidad de establecer, por ejemplo, diversos sistemas axiom�ticos en geometr�a y en teor�a de conjuntos, igualmente legitimados desde el punto de vista del constructor l�gico, y tales que el sistema A resulta m�s adecuado que el B para manejar y explicar ciertas situaciones mientras que el B es m�s adecuado para explicar otros aspectos de la realidad? C�mo se puede afirmar a la vista de este fen�meno que solamente uno de estos sistemas es el que posee la exclusiva de ser el aut�ntico esquema de la realidad?

Quiz�s se pudiera modular el pensamiento de G�del de la siguiente forma. Se podr�a tal vez pensar que, como he afirmado antes, la realidad es la motivaci�n para que nuestro mecanismo mental construya diversos modelos, esquemas mentales, que no son necesariamente impuestos por ella ni por la forma de ser de nuestra propia estructura mental. En realidad ninguno de los esquemas que construyamos va a agotar sin residuos la realidad misma que pretende manipular y manejar. Por eso mismo la mente es, hasta cierto punto al menos, libre en su construcci�n. La realidad nos proporciona la ocasi�n. Nuestra mente la puede interpretar de diversas formas. Y cuando hablo de realidad, como dije antes, me refiero tambi�n a nuestra propia estructura mental, y muy principalmente a ella, ya que la matem�tica se fundamenta de forma tan determinante en esta estructura mental.

Por lo tanto, en este proceso de ajustamiento a la estructura fina de la realidad, la mente, que forma parte ella misma de tal realidad, va conformando estructuras propias que, espera, se adec�en cada vez mejor. La mente act�a en esta interacci�n con cierta plasticidad y libertad. Ante una misma etapa de la interacci�n mencionada la mente puede optar por construir tal o cual sistema de axiomas (geometr�a eucl�dea o no-eucl�dea, teor�a de conjuntos cantoriana o no-cantoriana) e incluso es capaz de desarrollarlos todos ellos independientemente por tenerlos en reserva, tal vez a la espera de su posible aplicaci�n cuando surja una situaci�n que convenga. Quiz�s se encuentre en el futuro en circunstancias en las que uno de los sistemas que ha creado pueda proporcionarle ventajas en su interpretaci�n de alg�n aspecto de la realidad.

Esta visi�n de la matem�tica permanentemente en camino hacia una comprensi�n m�s cabal de diferentes aspectos de la realidad y construy�ndose y perfeccion�ndose a s� misma en interacci�n profunda con los aspectos de la realidad misma a los que dirige su contemplaci�n est� plenamente en consonancia con las propias ideas de G�del acerca del car�cter inagotable del quehacer matem�tico, y con la apertura estructural del pensamiento de la matem�tica al misterio, como tendremos ocasi�n de ver en detalle m�s adelante, al tratar, al menos someramente, la significaci�n del teorema de G�del en la comprensi�n del significado de la actividad matem�tica. Pero antes quisiera centrar la atenci�n sobre un punto interesante que de alg�n modo ya ha hecho su aparici�n en nuestra exploraci�n del modo como tiene lugar el desarrollo de la matem�tica. Cu�l ha sido la fuerza fundamental que ha empujado al matem�tico a modificar las concepciones, en muchos casos bien arraigadas y aparentemente con fundamentos bien seguros, en las que estaba asentado?

La paradoja como est�mulo del progreso matem�tico.

Una paradoja es una situaci�n a la que llegamos cuando, pensando adecuadamente, a partir de ciertas premisas de las que nos parece no poder tener ning�n motivo para dudar, llegamos a una afirmaci�n que, por lo tanto, nos parece incontrovertible, y a continuaci�n, pensando de otro modo tambi�n indubitable, llegamos a una conclusi�n que contradice la anterior. Una paradoja no es un sofisma. Un sofisma es un enga�o m�s o menos sutil. Una paradoja es una oportunidad para profundizar en nuestras ideas y concepciones, ya que pone de manifiesto que hay algo en las premisas que damos por perfectamente buenas que no hemos llegado a entender correctamente. En cierta ocasi�n, trabajando con un grupo de colaboradores sobre un problema dif�cil se le oy� musitar a Niels Bohr, uno de los grandes cient�ficos del siglo: "Magn�fico! Hemos topado con una paradoja. Ahora s� que podemos tener esperanza de progresar".

La paradoja de Galileo que hemos considerado antes (hay y no hay m�s naturales que n�meros pares) nos pone de manifiesto que el sentido de ese hay m�s es ambiguo cuando se trata de conjuntos infinitos y hace falta que nos pongamos de acuerdo sobre �l antes de tratar de manejar un conjunto infinito con cierto rigor. G.Cantor, al hacerlo, consigui� abrir caminos hasta entonces insospechados para poder manejar de alguna forma el concepto de conjunto infinito actual, hasta entonces desterrado de la matem�tica. Solamente el infinito potencial era admisible, es decir el conjunto de los n�meros enteros no se pod�a tratar matem�ticamente como algo completo, en su totalidad realizada, sino como algo que se hace.

En la historia de la matem�tica las paradojas importantes han representado un verdadero cambio de rumbo en su evoluci�n, al poner de manifiesto que ciertas formas de pensamiento, hasta entonces por nadie discutidas, resultaban conducir a una situaci�n de es y no es insostenible para la mente matem�tica. El que la proporci�n entre las medidas de la diagonal y el lado de un pent�gono regular no fuera expresable mediante una proporci�n entre dos n�meros naturales, es decir la aparici�n del inconmensurable, del n�mero irracional, di� al traste con la creencia fundamental de los pitag�ricos de que los n�meros naturales reg�an todo el universo, pero fue la ocasi�n para que se enriqueciera la matem�tica con nuevos m�todos para el tratamiento del n�mero (m�todos de exhausci�n de Eudoxo). Las cuatro paradojas de Zen�n (Aquiles y la tortuga, la dicotom�a, la flecha, el estadio) acabaron con la creencia, tambi�n pitag�rica, en la constituci�n at�mica del espacio y dieron ocasi�n para pensar mucho en la naturaleza continua del espacio de la geometr�a.

En tiempos m�s recientes, en torno al comienzo del siglo 20, las paradojas en torno a la teor�a de conjuntos, la paradoja de Cantor (sobre el conjunto de todos los conjuntos), la de Russell (paradoja del barbero), de Richard (sobre los adjetivos autopredicables y heteropredicables), han dado lugar a toda una revoluci�n en torno a los fundamentos de la matem�tica, que vino a tener una primera cima hist�rica con el teorema de incomplitud de G�del en 1931, que enseguida examinaremos un poco m�s de cerca. Con esta revoluci�n se puede decir que la matem�tica ha pasado a ser, en lugar de la disciplina un tanto cerrada en s� misma que el programa de Hilbert (con el que se pretend�a demostrar que cualquier proposici�n leg�tima del sistema matem�tico es un teorema o un contrateorema) la hubiera convertido, una disciplina inagotable, abierta, en perpetua expansi�n, camino de una mejor adecuaci�n a la realidad.

Un aspecto interesante de las paradojas que hemos mencionado es que en todas ellas est� de alguna forma presente alg�n tipo de proceso que tiene que ver con el infinito matem�tico. No es casualidad, ya que, como tendremos ocasi�n de ver enseguida, el infinito matem�tico, presente en el pensamiento matem�tico desde sus mismos or�genes, es lo que le proporciona la profundidad que posee, aunque tambi�n constituye la ra�z de los problemas m�s profundos en los que se embarca.

Hacia la matematizaci�n del infinito.

Una barrera en el camino: el teorema de G�del.

La presencia del infinito en la matem�tica constituye un reto insoslayable. En la misma percepci�n originaria de la multiplicidad presente en las cosas, en ese caer en la cuenta de la finitud (no soy quien lo llena todo) y repetibilidad de la unidad presente en la propia conciencia del yo (hay otros como yo mismo), en esos puntos suspensivos que colocamos cuando empezamos a contar y decimos 1,2,3,... est� ya presente de alguna manera la percepci�n de la presencia del infinito en nuestra mente.

Se trata de una presencia no tem�tica, es decir no se hace ella misma objeto al modo como se objetivan las cosas concretas del resto de nuestro conocimiento, pero en realidad es esta presencia la que est� dando fundamento a nuestra posibilidad de conocimiento de lo que es finito. Lo finito se recorta en lo infinito como en un horizonte. El infinito est� en nuestra mente a modo de un espacio en el que lo finito se destaca, precisamente delimit�ndose a trav�s de su propia concreci�n, mostrando as� que no lo es todo, que no lo llena todo. Y al mismo tiempo nuestro conocimiento de los objetos concretos, de cualquier conocimiento de lo finito, nos hace percibir la presencia de lo infinito de una forma que tal vez se entienda mejor con la siguiente comparaci�n. En la total oscuridad de una habitaci�n penetra por una rendija un rayo de luz que sale de la habitaci�n por otra rendija opuesta. Entonces no vemos el rayo de luz, y no seremos capaces de percibir la presencia de ese rayo de luz a menos que un objeto, o bien las part�culas de polvo del aire, sean iluminadas por ese rayo de luz. Al ver las part�culas nos apercibimos de la presencia del rayo de luz. De manera parecida, el infinito de alg�n modo presente en nuestra mente posibilita y funda nuestro conocimiento de lo finito, y en el conocimiento de lo finito y concreto nos apercibimos de esa presencia del infinito.

El acercamiento con intenci�n matematizante a esta estructura primordial de la realidad (la multiplicidad) es lo que da lugar, a mi parecer, al inicio de nuestras construcciones sobre el n�mero. Y as� se puede decir que el infinito matem�tico ya est� presente en nuestro m�s primitivo contar 1,2,3,... Con el tiempo, y tras la familiarizaci�n con el n�mero, la mente comienza a hacerse preguntas sobre la naturaleza de esa realidad presente en ella misma (por ejemplo, podemos considerar como un todo acabado esa multitud que empieza con 1,2,3,... y que sabemos perfectamente c�mo se va construyendo? o bien no tiene sentido ninguno el hacerlo?). Estas preguntas se hacen cada vez m�s sofisticadas. Como ciertas de ellas conducen a situaciones parad�jicas y posiblemente confusas, tal como hemos visto antes, la mente se construye un esquema hipot�tico, cuando es preciso incluso un sistema axiom�tico formal, con el que aprende a tratar con m�s rigor la situaci�n. Parece que todo funciona satisfactoriamente. La mente adquiere cada vez m�s destreza y se atreve a explorar m�s alla. Vuelven a aparecer otras situaciones parad�jicas que le hacen comprender que sus esquemas anteriores no dominan totalmente la realidad para la que fueron constru�dos. Su visi�n actual de la situaci�n le sugiere algunas modificaciones de sus construcciones con las que los nuevos problemas quedan solucionados...

A lo largo de la historia de la matem�tica, este tipo de proceso reaparece una y otra vez, motivando el progreso del pensamiento matem�tico. Los n�meros irracionales aparecidos al margen de ciertas construcciones geom�tricas, las paradojas de Zen�n en torno al movimiento y a la naturaleza continua del espacio, fueron motivaciones para construir una nueva forma de manejar matem�ticamente esta forma de infinitud. Los desarrollos del c�lculo infinitesimal, consolidados en un intenso trabajo de multitud de matem�ticos entre el siglo 17 y finales del 19, constituyen nuevas formas de manejo del infinito matem�tico. La teor�a de conjuntos de Cantor, a fines del siglo 19 y principios del 20, constituyeron el instrumento fundamental para tratar de dar rigor a estos nuevos esquemas de pensamiento.

A principios del siglo 20, la teor�a de conjuntos creada por Cantor, sobre la que se intentaba fundamentar de forma rigurosa el edificio de la matem�tica, parec�a haber alcanzado una cierta madurez para tratar de resolver una pregunta crucial, el problema de la decisi�n (Entscheidungsproblem). As� se expresaba en 1925 D. Hilbert en un art�culo, precisamente titulado Sobre el infinito:

En cierto sentido la matem�tica se ha convertido en una corte de arbitraje, un tribunal supremo para decidir cuestiones fundamentales sobre una base concreta en la que todos puedan concordar y donde cada afirmaci�n sea controlable,... Un ejemplo del tipo de cuestiones fundamentales que pueden ser tratadas de este modo es la tesis de que todo problema matem�tico es soluble. Todos nosotros estamos convencidos de que realmente es as�. De hecho uno de los principales atractivos para atacar un problema matem�tico es que siempre o�mos esta voz dentro de nosotros: Ah� est� el problema, encuentra la contestaci�n, siempre la puedes encontrar puramente pensando, pues en matem�ticas no hay ning�n 'ignorabimus'.

(D. Hilbert, �ber das Unendliche, Mathematische Annalen 95 (1925), 161-190).

Seg�n el sentir de Hilbert, todos los matem�ticos del tiempo estaban de acuerdo en que, para cualquier proposici�n bien constru�da del sistema matem�tico habr�a de existir o bien una demostraci�n de ella o bien una demostraci�n de su negaci�n porque en matem�ticas no hay ning�n "ignoraremos", kein 'ignorabimus' in der Mathematik. La demostraci�n rigurosa de este hecho, que parec�a estar fuera de toda duda razonable, fue un objetivo principal del programa que Hilbert propon�a. Con ello se llegar�a a establecer claramente esa condici�n de �rbitro supremo de la ciencia matem�tica.

No hab�an pasado 6 a�os cuando en 1931 K. G�del daba al traste de forma definitiva con el programa de Hilbert. Pese a todas las expectativas de los matem�ticos del tiempo, G�del demostr� que la situaci�n real era precisamente la contraria:

En cualquier sistema matem�tico suficientemente potente para que en �l se pueda desarrollar la aritm�tica de los n�meros naturales existen proposiciones P con perfecto sentido dentro del sistema que son indecidibles, es decir P no se puede demostrar, pero tampoco no-P se puede demostrar.

Este es el contenido del primer teorema de G�del (1931) sobre la incompletitud de la aritm�tica, que probablemente pasar� a la historia como uno de los resultados m�s importantes de pensamiento matem�tico, en un art�culo titulado �ber folmalunentscheidbare S�tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados).

Poco despu�s G�del demostrar�a adem�s, como resultado complementario, algo que hac�a apreciar a�n mejor la profundidad de su anterior teorema:

Una de tales proposiciones indecidibles es precisamente la que afirma que en el sistema en cuesti�n no existen contradicciones.

Es decir, construyamos el sistema matem�tico que construyamos, con tal tan s�lo de que sea suficientemente potente para que en �l se pueda desarrollar la aritm�tica ordinaria, no podemos demostrar dentro de �l que nunca van a surgir proposiciones contradictorias, es decir no podemos estar seguros de que en �l no va a resultar que P es un teorema a la vez que tambi�n no-P es un teorema, lo cual naturalmente invalidar�a totalmente el sistema, ya que cualquier afirmaci�n y su negaci�n ser�an igualmente demostrables.

Examinaremos a continuaci�n algunas de las consecuencias de este enfrentamiento con el infinito, que tiene una cima importante para nosotros en el teorema de G�del, especialmente las que tienen relaci�n con nuestra exploraci�n sobre el tri�ngulo mente-realidad-matem�tica. Trataremos de recapitular brevemente lo que revela en relaci�n con la concepci�n de la matem�tica como proceso de acercamiento a la realidad y se�alando especialmente el car�cter de la matem�tica como ciencia abierta que sugiere.

El acercamiento de la mente a la realidad

Una apertura de la matem�tica a la trascendencia?

Hemos visto c�mo la mente, en el comienzo mismo de su matematizar, ya en el m�s primitivo contar, se hace cargo de la presencia, de un modo muy peculiar, en su misma estructura, del infinito. Esta presencia es precisamente la condici�n de posibilidad de nuestro conocimiento de lo finito, sin ser ella misma abordable de la misma forma que los dem�s objetos de nuestra mente. Se podr�a decir que es lo inabarcable, lo misterioso o, en palabras de L.Wittgenstein, lo inexpresable. Tal vez a esta situaci�n alud�a �l mismo en una p�gina de sus anotaciones:

Lo inexpresable (aquello que me parece misterioso y no puedo expresar) proporciona tal vez el fondo sobre el que alcanza sentido aquello que pude expresar.

(L.Wittgenstein, Vermischte Bemerkungen, Werkausgabe Band 8, Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main, p.472)

Das Unaussprechbare (das, was mir geheimnisvoll erscheint und ich nicht auszusprechen vermag) gibt vielleicht den Hintergrund, auf dem das, was ich aussprechen konnte, Bedeutung bekommt.

El intento de matematizaci�n de esta realidad ha conducido a la mente, tras el trabajo de muchos siglos, a trav�s de numerosas crisis y profundizaciones sucesivas, al convencimiento de que el quehacer propio de la matem�tica es una actividad necesariamente abierta, inagotable escribe G�del, en el sentido de que nunca puede darse por conclu�da. Esto, me parece, es bien congruente con la concepci�n de la matem�tica que antes he apuntado, como un proceso de permanente acercamiento a una realidad que siempre va a presentar nuevos parajes por explorar, acercamiento que se realiza gracias a la interacci�n constante con la realidad misma y a la inmensa flexibilidad de nuestra propia mente en este ejercicio de adaptaci�n.

Parece, pues, que el pensamiento matem�tico comporta varios aspectos que lo hacen muy interesante desde el punto de vista de la relaci�n del hombre con la realidad global del mundo y que son los que, a mi parecer, explican algunas posiciones intelectuales de muchos matem�ticos que pueden resultar bien extra�as para quienes nunca han pensado en tales aspectos. De varias maneras, en efecto, tiene lugar en algunos de los matem�ticos que m�s han reflexionado sobre el sentido profundo de su ciencia, una apertura hacia la trascendencia que no les parece en absoluto estar en contradicci�n con su quehacer matem�tico, sino incluso fundamentada en ella misma.

Cu�l puede ser el sentido de esta apertura a la trascendencia? Ser� bueno, para comenzar, tratar de delimitar cu�ndo podemos responder afirmativamente sobre la existencia de una tal apertura a la trascendencia desde el mismo quehacer de la matem�tica. Tal vez, pienso yo, se puede hablar de tal apertura cuando al reflexionar sobre ese quehacer el hombre encuentra en �l mismo indicios, pistas, que hacen pensar a quien matematiza que hay algo o alguien en el universo m�s all� de �l mismo, es decir que es m�s, que sabe m�s, que puede m�s, que fundamenta de alguna manera lo que �l encuentra, su misma actividad creativa, por lo que o por quien, seg�n podemos barruntar, la naturaleza se sostiene de alg�n modo, que est� realmente ah�, que es misterioso para nosotros y ante el cual, en principio, nuestro papel consiste en guardar un silencio respetuoso y expectante ante la posibilidad de que se comunique de alguna manera m�s cercana. Se dan tales elementos en la actividad matem�tica?

Un poco m�s arriba hemos tenido la oportunidad de considerar las palabras de Charles Hermite, uno de los grandes matem�ticos del siglo 19, repetidas con solemne aprobaci�n por G�del, sobre el origen divino del mundo de las ideas matem�ticas. Enseguida tendremos ocasi�n de escuchar algunos testimonios semejantes. Se puede dar alguna explicaci�n plausible sobre el origen de tales afirmaciones rotundas?

Por una parte en la mente matematizante se da un cierto grado de libertad. Lo que la mente observa de la realidad que pretende matematizar le gu�a en sus construcciones, pero no le compele de modo absoluto hasta el punto de privarle de toda autonom�a. La realidad observada le permite, en muchas ocasiones, una variedad inmensa de elecciones. Esto indujo a Cantor a afirmar que la esencia de la matem�tica radica en su libertad, y en ella defend�a con insistencia algunas de las, en su tiempo, controvertidas construcciones de su teor�a de conjuntos. Pero por otra parte, ante esa misma realidad el matem�tico tiene la sensaci�n de encontrarse con que esa realidad tiene su estructura propia, su solidez peculiar que se le impone en muchos aspectos, que es algo que est� por encima de su propio arbitrio.

Esta situaci�n explica, en primer lugar, la pol�mica permanente sobre si la matem�tica se crea o se descubre. En mi opini�n, de acuerdo con la concepci�n ya considerada de la actividad matem�tica, el matem�tico atiende a la realidad y, con ella como referencia, construye los esquemas que, espera, se adaptan a mejor a ella, y permanece abierto a la posibilidad de mejorar su forma de aproximaci�n a esa misma realidad. La matem�tica, en alg�n sentido, por tanto, se crea y se descubre. Hay estructuras de la realidad que podemos dar por definitivamente establecidas, descubiertas, por ejemplo que 2+2=4, y otras que la mente ha establecido, creado, como acercamiento suficiente, al menos en un primer intento provisional, y que tambi�n tienen su valor, incluso en el caso de que se observe m�s adelante que otras diferentes pueden servir mejor para explicar la realidad.

Esa solidez y fortaleza de la realidad matem�tica, que se resiste de alg�n modo a posibles manipulaciones arbitrarias, y a los intentos de un falso encasillamiento, que la mente matem�tica colectiva y tambi�n el matem�tico individual en su propio trabajo experimentan tantas veces, son tal vez la ra�z de las consideraciones en torno a la trascendencia que llevaron a los pitag�ricos a contemplar la matem�tica como escala hacia la divinidad. Al contemplar la fuerza independiente y aut�noma de las relaciones que en la matem�tica se crean-descubren, el matem�tico puede quedar plenamente convencido de que est� percibiendo la presencia de algo superior a �l, que le precede a �l en inteligencia y cuyas huellas le parece estar siguiendo en todo su esforzado y laborioso traj�n. Esto no ha sido tan s�lo un convencimiento del pitagorismo primitivo.

A mi parecer, la afirmaci�n de Hermite (y G�del), sobre el origen divino del mundo de las ideas matem�ticas, provienen de la percepci�n, tal vez sin explicitar ni fundamentar m�s pormenorizadamente, de esta solidez y rotundidad de los objetos que la mente humana encuentra en su tarea de matematizaci�n. Para G�del, seg�n cuenta Hao Wang, uno de los matem�ticos que mejor le han conocido, la tarea de construir una religi�n racional, basada en su pensamiento l�gico-filos�fico, constituy� uno de los n�cleos importantes del trabajo filos�fico de m�s de los �ltimos 30 a�os de su vida. Su te�smo no era como el de Einstein, quien cre�a en el Dios de Spinoza, no personal. Para G�del, en palabras de Wang, Dios era m�s que persona, en consonancia tal vez con la teolog�a negativa de muchos de los m�sticos de todas las tradiciones, seg�n la cual, nuestras afirmaciones sobre Dios deben ir acompa�adas de una confesi�n de nuestra ignorancia sobre �l.

Entre los personajes de la matem�tica del siglo 20 en cuyos escritos cient�ficos ha quedado plasmado expl�citamente alg�n tipo de percepci�n de esta apertura a la trascendencia que venimos comentando se encuentra L.Wittgenstein. En la segunda parte de su Tractatus, la parte que se denomina m�stica, se encuentra una buena porci�n de pensamientos con tal orientaci�n, expresados, eso s�, en el estilo un tanto sibilino que caracteriza todo el Tractatus. Estos pensamientos ponen de relieve c�mo la intenci�n profunda de Wittgenstein en su obra era, como �l mismo dec�a, �tica. He aqu� una muestra extra�da de esta segunda parte:

6.52 Percibimos que, incluso aunque todas las posibles preguntas cient�ficas sean contestadas, los problemas referentes a nuestra vida no han sido tocados en absoluto. Es cierto que precisamente entonces no queda ninguna pregunta; y exactamente esto es la respuesta.

6.521 La soluci�n del problema de la vida se caracteriza por la desaparici�n de este problema (No es �ste el motivo por el que personas para quienes el sentido de la vida result� claro tras largas dudas no pudieron decir en qu� consist�a este sentido?)

6.522 Existe ciertamente lo inexpresable. Esto se muestra, es lo m�stico.

(Ludwig Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus , 1921)

Otra muestra interesante de esta apertura a la trascendencia, esta vez de un matem�tico contempor�neo, que enlaza muy expl�citamente con el pitagorismo primitivo, son las siguientes palabras finales de una conferencia pronunciada hace unos pocos a�os por Shafarevich, un gran algebrista, con ocasi�n de la entrega de cierto importante premio internacional, y que fue publicada en un buen n�mero de revistas matem�ticas:

La matem�tica como ciencia naci� en el siglo VI a. de C. en la comunidad religiosa de los pitag�ricos y fue parte de esta religi�n. Su prop�sito estaba bien claro. Revelando la armon�a del universo expresada en la armon�a de los n�meros proporcionaba un sendero hacia una uni�n con lo divino. Fue este objetivo elevado el que en aquel tiempo proporcion� las fuerzas necesarias para un logro cient�fico del que en principio no puede darse parang�n. Lo que estaba en juego no era el descubrimiento de un bello teorema ni la creaci�n de una nueva rama de las matem�ticas, sino la creaci�n misma de las matem�ticas.

Entonces, casi en el momento de su nacimiento, hab�an aparecido ya aquellas propiedades de la matem�tica gracias a las cuales las tendencias humanas generales se manifiestan m�s claramente que en ninguna otra parte. Esta es precisamente la raz�n por la que en aquel tiempo las matem�ticas sirvieron como modelo para el desarrollo de los principios fundamentales de la ciencia deductiva.

En conclusi�n quiero expresar la esperanza de que por esta misma raz�n la matem�tica ahora pueda servir como modelo para la soluci�n del problema fundamental de nuestro tiempo: revelar un supremo objetivo y prop�sito religioso para la actividad cultural humana.

(I.R.Shafarevich, On certain Tendencies in the Development of Mathematics)

La forma de percepci�n de la trascendencia por la mente humana a trav�s de la robustez y solidez de los objetos mismos de la matem�tica, que la mente hubiera esperado ser m�s moldeables, no es en realidad muy distinta de la que pueda aparecer al contemplar la existencia de las cosas mismas, "al asombrarnos sobre la existencia del mundo", como afirma L. Wittgenstein en su Conferencia sobre �tica, al explicar las propias vivencias que constitu�an el fundamento de su sentido �tico, o de la pregunta primigenia de Leibniz que sirve de arranque a toda la filosof�a sobre por qu� existe algo m�s bien que nada.

Sin embargo, a mi parecer, en la estructura peculiar del pensamiento matem�tico tal como se nos revela en el itinerario que hemos recorrido, y m�s en concreto en la misma presencia del infinito en el origen de nuestra matematizaci�n, aparece una forma de apertura a la trascendencia que es diferente y que m�s bien presenta puntos de semejanza con la manera de proceder de algunos de los te�logos de nuestro tiempo como K. Rahner, en sus ideas sobre el acercamiento racional a Dios (Se puede consultar, por ejemplo, los Grados 1 y 2 de su Curso fundamental sobre la fe, Herder, Barcelona, 1989). A los matem�ticos que tienen inter�s por pensar sobre el significado profundo del infinito desde su misma perspectiva cient�fica les vendr�a bien recordar las palabras del gran matem�tico F�lix Klein, quien, en conexi�n con las exploraciones sobre los fundamentos de la teor�a de conjuntos hace notar c�mo en muchos aspectos "las especulaciones de los escol�sticos... han resultado ser los intentos m�s correctos de lo que hoy llamamos teor�a de conjuntos", y se�ala c�mo Cantor mismo, el creador de la teor�a de conjuntos recibi� su est�mulo principal para ello de tal fuente (F. Klein, Vorlesungen �ber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Teil I, p.52, Chelsea, New York, 1967).

Como hemos visto anteriormente, en la apertura inicial de la mente al conocimiento intelectual, a cualquier conocimiento intelectual, est� presente, como horizonte, como condici�n de posibilidad de cualquier conocimiento concreto, el ser en su infinitud. Nosotros percibimos esta infinitud no de modo tem�tico, sino como el espacio en que nuestro conocimiento tiene lugar. Esta presencia no es s�lo mera condici�n de posibilidad, como podr�a ser la mera ausencia de obst�culos, sino causa fundante de nuestro propio conocer, no una mera cuesti�n de estructura externa. Es algo constitutivo de nuestro conocer, aunque de una forma tan velada que no se explicita. Y tal vez no se puede explicitar. El ojo, al ver, no se puede ver a s� mismo, a no ser en la imagen de un espejo. Y en ello posiblemente radica el car�cter peculiar de esta presencia, que es por una parte, lo primario, lo siempre presente, lo m�s obvio de nuestro conocimiento, y por otra parte lo necesariamente oculto, escondido, misterioso. Si lo pudi�ramos conocer al modo como conocemos los objetos cotidianos no ser�a lo que es.

En este horizonte infinito debe destacarse el ser finito, limitado, y este horizonte es el que proporciona la posibilidad de cualquier otro conocimiento. No nos lo planteamos como objeto. Es el horizonte, el trasfondo de nuestra visi�n cognoscitiva que, de no estar ah� no habr�a nada en ella. La mente est� por su propia naturaleza abierta a este horizonte y cualquiera de sus actividades lo pone de manifiesto. El ser finito, concreto, se destaca en ella precisamente de modo negativo, mostrando su limitaci�n, su modo de ser particular que niega el modo de ser de otros muchos, afirmando as� impl�citamente que el ser importante es el que no tiene modo.

Un examen m�s cercano, que aqu� no podemos hacer con m�s detalle, de la peculiar estructura de nuestra mente, con esta apertura inherente en ella, nos lleva en primer lugar a pensar que, detr�s de ese misterio, lo inexpresable, lo que a m� me parece misterioso, en palabras de Wittgenstein, que funda nuestro conocimiento no puede estar la nada, pues la nada no da lugar a cosa alguna, sino que es algo que tiene que existir, si bien con una forma de existencia muy distinta de la que nosotros mismos experimentamos. Algunas de las implicaciones de esta experiencia trascendental pueden tal vez ser resumidas como sigue.

La percepci�n del horizonte, del infinito, del ser, dentro de nosotros nos estimula a buscar su fundamento. Y �ste no se puede encontrar en la nada, pues la nada nada funda. Esto nos indica que ese fundamento es real, no es una construcci�n de nuestra mente, no es algo a lo que nosotros concedemos realidad, pues es previo de muchas maneras a nuestra propia realidad. Es ese fundamento real lo que est� colocando las fronteras con lo limitado que nosotros percibimos de este modo peculiar desde el otro lado. Es ese fundamento real lo que propiamente posibilita nuestro mismo conocer y nuestro mismo ser. El misterio est� ah�, m�s interior a nosotros que nosotros mismos, mucho m�s real que nosotros, fundando la realidad que somos nosotros. Es ese misterio el que posibilita nuestro conocer y nuestro ser y no al rev�s.

Escondido... s� y no. Est� presente, puedo pensar, en la forma, tal vez la �nica, que mejor corresponde a su ser, que es una forma que a nosotros se nos aparece como una mezcla de presencia insoslayable y de ocultamiento silencioso... el misterio inexpresable. Los m�sticos de todas las tradiciones, esas personas, como dice Wittgenstein en el Tractatus, para quienes el sentido de la vida result� claro tras largas dudas y no pudieron decir en qu� consist�a, han evocado mejor que nadie esta situaci�n. As� lo canta San Juan de la Cruz:

Qu� bien s� yo la fonte que mana y corre,

aunque es de noche!

Aquella eterna fonte est� escondida,

qu� bien s� yo do tiene su manida,

aunque es de noche!

(De: Cantar de la alma que se huelga de conoscer a Dios por fe)

De esta forma, parece, se pasa desde lo que en principio podr�a uno se�alar como mera apertura est�tica de la mente a lo que es misterioso y trascendente, que se da en su pensar originario (y as� en cualquier pensar concreto, matem�tica y otras ciencias, por ejemplo), hacia un movimiento m�s activo de afirmaci�n y de b�squeda m�s din�mica de lo que representa para la misma mente esto misterioso e inexpresable. La mente se apercibe de su propia situaci�n de apertura a la trascendencia. Se pregunta por la raz�n de esta situaci�n. La encuentra en un algo que tiene que fundarla aunque no sepa c�mo debe concebirlo. Desea vehementemente saber y saborear m�s de ello.

Oh cristalina fuente,

si en esos tus semblante plateados

formases de repente

los ojos deseados que llevo en mis entra�as dibujados!

(De: Canciones entre el alma y el esposo)

Y tras esa b�squeda, se topa con la cercan�a al misterio que parece que ya se le va a manifestar m�s plenamente.

Oh llama de amor viva,

que tiernamente hieres

de mi alma en el m�s profundo centro!;

pues ya no eres esquiva, acaba ya, si quieres;

rompe la tela de este dulce encuentro!

(De: Canciones que el alma hace en la �ntima uni�n en Dios su esposo amado)

La apertura de nuestra mente no es solamente apertura y din�mica de la inteligencia. En ella va inclu�da la persona toda con su voluntad, capaz de deseo, de amor, de compenetraci�n, a trav�s de la cual desear�a ver colmada toda su forma de ser. La estructura de sujeto y persona del hombre derivan de una forma natural de esta experiencia originaria de lo transcendente, constituyen el soporte propio que posibilita tal experiencia trascendental y de ella se sigue, al percibirse el hombre a s� mismo como teniendo a su cargo sus propias decisiones y al estar colocado en el tiempo, su propia estructura de libertad.

Pienso que es desde esta experiencia de lo trascendente desde donde uno puede entender mejor la relaci�n �ntima entre:

sujeto (capacidad de hacerse cargo de s� mismo de modo muy especial),

persona (capacidad de abrirse a otros en virtud de una misma participaci�n de esa experiencia de lo trascendente y de abrirse a lo que es misterioso, pero acerca de lo cual puede colegir, por el hecho de estar fundando tal capacidad suya, que es ello mismo capaz de alguna forma tambi�n misteriosa de acoger su propia apertura),

libertad (capacidad, fundada en su car�cter de sujeto y persona colocada ante opciones, de elegir y actuar de modos diferentes)

historicidad (colocado en un instante determinado del tiempo con todo lo que esto significa, por ejemplo su posibilidad de escrutar si en el pasado pudiera encontrar huellas de la manifestaci�n del misterio).

Es claro que no es este el lugar adecuado para tratar de llevar adelante las muchas implicaciones a las que parecen conducir estas consideraciones que enlazan, a mi parecer de forma natural, con el resto de las consideraciones filos�ficas de todos los tiempos.

Para terminar quisiera recordar unas palabras de A.N.Whitehead, que nos hacen volver a nuestro punto de partida y que vienen a subrayar la importancia del papel del modo de pensar matem�tico para una mejor comprensi�n de las estructuras de la realidad:

La noci�n de estructura es tan antigua como la civilizaci�n... la infusi�n de estructuras en el curso de la naturaleza y la estabilidad de tales estructuras, as� como la modificaci�n de ellas es la condici�n necesaria para la realizaci�n del Bien.

La matem�tica es la t�cnica m�s poderosa para la comprensi�n de la estructura y para el an�lisis de la relaci�n entre estructuras... Considerando la inmensidad de su campo de acci�n la matem�tica, incluso la matem�tica moderna, es una ciencia en su infancia.

Si la civilizaci�n contin�a avanzando, en los pr�ximos 2000 a�os la novedad predominante en el pensamiento humano ser� el se�or�o de la intelecci�n matem�tica.

(A.N. Whitehead, Sobre el Bien, 1923)

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WITTGENSTEIN, L., Werkausgabe Band 8 (Suhrkamp, Frankfurt am Main, 1984)

Miguel de Guzm�n

Facultad de Matem�ticas

Universidad Complutense de Madrid

28040 Madrid, Spain

http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/guzman.htm

mdeguzman@bitmailer.net

� The Author 1999